Метод наименьших квадратов, приводящий в простейших специальных случаях к алгебраическому среднему, представляет собой классическую процедуру сглаживания случайных ошибок измерения (метод уравниваний).

Уже в 1821 году Гаусс предложил рекуррентный вариант процедуры, позволяющий корректировать ранее вычисленную оценку с учетом вновь поступивших дополнительных измерений без необходимости повторять все предшествующие вычисления. В 1950 году Плакет [1.3] вновь использовал эту идею и обобщил ее на случай нескольких одновременно производимых дополнительных измерений,

В настоящей главе задача наблюдения формулируется в обычном для теории регулирования смысле. Она состоит в необходимости

оценки недоступного вектора состояния некоторой регулируемой системы на основе наблюдений ее выхода. Возмущения на входе системы в задаче наблюдения не учитываю1ся. Ошибки наблюдения выхода при этом, правда, рассматриваются, но не конкретизируются. Таким образом, эта задача является предшественником и частним случаем зада-щ фильт[)ации.

Изложение ведется в пространстве состояний, причем {шссмотре-ны предложенные Калманом 111.4, 1.5] понятия управляемости, наблюдаемости и двойственности. Главным результатом этой главы являются структура законов наблюдения в различных {юрмах, даюшиХ решение задачи наблюдения. При этом изучены случаи как непрерывного, так и дискретного времени. Установлено, что оценка фазового вектора может быть осуществлена посредством блочной обработки совокупности измерений в рамках гауссовского метода наименьших квадратов и что матрица наблюдений Калмана эквивалентна гауссоБской нормальной матрице, соответствующей задаче.

Законы наблюдения для непрерывного и дискретного времени имеют соответственно вид интеграла или суммы. Это позволяет подходящим образом преобразовать их к системе соответственно дифференциальных или разностных уравнений, в результате чего закон наблюдения сводится к рекуррентной обработке последовательно получаемд.1х результатов измерений. Интерес к этой форме наблюдения и оценивания резко возрос в конце пятидесятых годов. С одной стороны, потребность в этом в то время возникла из-за развития полетов в космосе. С другой стороны, появившиеся тем временем быстродействующие вычислительные машины давали возможность вьшопнять оценивание в реальном масштабе времени,

в этой святая происходит перемена также и в интерпретации систем наблюдения и фильтрации. Они более не интерпретируются с точки зрения частотной характеристики ют системы передачи информации, как это имело место во времена Винера, Воде и Шеннона, а представляют собой вычислительные алгоритмы для вычисления в реальном масштабе времени гауссовской и гауссовско-марковсксй оценки, оценки с минимальной дисперсией, условного математического ожидания или даже самого условного распределения.

Рекуррентные законы наблюдения и фильтрации в виде дифференциальных ипи разностных уравнений могут быть непосредственно реализованы с помощью несложной вычислительной техники или вычислительных программ. Они также справедливы и для зависящих от времени систем регулирования на конечном временном интервале наблюдения. Многочисленные применения методов наблюдения и фильтрации, особенно для определения траекторий подводных, воздушных и космических кораблей, доказали практическое значение этой теории. Первое применение ее было описано в [,1.6, 1.73

Задача фильтрации представляет собой обобщение задачи наблюдения, рассматриваемой в настоящей главе в качестве предварительной. При фильтрации учитываются как случайные возмущения, так и ошибки наблюдения, пщчем фяпьтр имеет ту же структуру, что и соответствующее следящее устройство. Разница между ними 10

состоит в том, что коэффициент усиления фильтра является оптимальным относительно заданных статистических свойств случайных возмущений и ошибок измерений. В то же время коэффициент усиления следящего устройства может быть выбран и из иных соображений. Мы вновь вернемся к задаче фильтрации в главе 2.

1.2. Постановка задачи наблюдения

Б технических задачах регулирования и, в особенности, при по-строечии современной теории оптимального управления возникает необходимость Б процедурах оценивания и фильтрации. Законы управления, полученные в результате применения вариационного исчисления (Каратеодори Cl.8]), динамического программирования (Беллман С1.93) или принципа максимума (Понтрягин Cl.l03), требуют, обычно, дпя своего применения знания всего вектора состояния регулируемого объекта. Классического регулирования по принципу обратной связи, основанного лишь на знании выходньл величин, более уже недостаточно. Напротив, возникает проблема -по результатам наблюдений выходных величин определить вектор состояния системы.

Условимся говорить о задаче наблюдения, если возмущениями и ошибками измерений можно пренебречь. Возникающую в противном спучае задачу будем именовать задачей фильтрации. В атом параграфе формулируется математическая постановка и приводится исследование задачи наблюдения.

Постановка задачи наблюдения. Пусть имеется динамическая система вида

Здесьх-п-мерный неизвестный вектор состояния, .-р-мерный известный вектор регулирующего воздействия и 1J-вектор измеряемых точно выходных величин; а,в, С - заданные матрицы соответствующей размерности (рис. 1.1, верхняя часть). Требуется определить оценку для или для лст).

Замечание. В задаче наблюдения определение векторов Xit )

и Xlt) в принципе эквивалентно. Действительно, если известен один из них, то другой может быть найден с помощью интегрирования уравнения (1.1а) либо в прямом, либо в обратном времени.

Решение задачи наблюдения тривиально, если матрица состава измерений Ctjc) квадратная и невырожденная, так как в этом случае, очевидно,

a!(i)=C 4i)Ct (12

Последняя ситуация имеет место, если например, можно разместить достаточное количество измерительных устройств для наблюдения